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研究生： 劉奕良
Liu, Yi-Liang
論文名稱： 避開子集總和為 f 之最大基數整數分割： 循環特性的漸進緊邊界
Maximal Cardinality Integer Partition that Avoids Subset Sum of f : An Asymptotic Tight Bound for Its Cyclic Property
指導教授： 韓永楷
Hon, Wing-Kai
口試委員: 蔡孟宗
Tsai, Meng-Tsung
王弘倫
Wang, Hung-Lung
學位類別： 碩士
Master
系所名稱： 電機資訊學院 - 資訊工程學系
Computer Science
論文出版年： 2024
畢業學年度： 112
語文別： 英文
論文頁數： 35
中文關鍵詞： 整數分割 、最大基數 、循環性質 、漸進緊邊界
外文關鍵詞： Integer Partition, Maximum Cardinality, Cyclic Property, Asymptotic Tight Bound
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    • 設 n 和 f 為兩個正整數。在本文中，我們將研究對於 n 之整數分割，其任何子集總和皆不等於 f 的最大基數分割 P 的特性。Tan 等人 [3] 發現，若固定 f ，當 n 超過一定的閾值 τf 時，P 中的部分數會隨著 n 的增加表現出一種循環特性。具體來說，他們證明了 τf = O(f L2) ，其中 L 表示 f 的最小正非除數。也就是說，對於任意 f ，循環性質總是存在的。
    Tan 等人猜想 τf = Θ(f L) 。本文證明了此猜想的正確性。

    Let n and f be two positive integers. In this thesis, we investigate the maximal cardinality integer partition P of n which does not contain any subset P ′ ⊆ P with sum equal to f . Tan et al. [3] showed that when f is fixed, the number of parts in P exhibits a cyclic property, as n increases and n exceeds a certain threshold τf . In particular, they showed that τf = O(f L2), where L denotes the smallest positive non-divisor of f . That is, the cyclic property always occurs for any f .
    It was conjectured that τf = Θ(f L). This thesis shows that this conjecture is true.

    Contents Abstract (Chinese) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . I Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Acknowledgments (Chinese) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III Acknowledgments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV Contents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V List of Figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII List of Tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 Basic Definitions and Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3 Upper Bound of the Cyclic Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.1 Minimum Extensible by ν > f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.2 Minimum Extensible by ν ∈ (L, f ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.3 Deriving the Upper Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.3.1 When f < 2L(L - 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.3.2 Connection between “minimum extensible by L” and cyclic property . . . . . . . . 21 4 Lower Bound of the Cyclic Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.1 When f is odd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.2 When f is even . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    [1] G. H. Hardy and S. Ramanujan. “Asymptotic Formulaae in Combinatory Analysis”. In: Proceedings of the London Mathematical Society 2-17.1 (1918), pp. 75–115. doi: 10.1112/plms/s2-17.1.75.
    [2] Tanya Khovanova and Konstantin Knop. Coins of Three Different Weights. 2014. arXiv: 1409.0250 [math.HO].
    [3] Te-Sheng Tan, Dai-Yang Wu, and Wing-Kai Hon. “Partitions of n that avoid partitions of f, and an application to the tiny-pan coin weighing problem”. In: Discrete Mathematics 340.6 (2017), pp. 1397–1404. issn: 0012-365X. doi: https://doi.org/10.1016/j.disc.2016.09.034.
    [4] Eric W Weisstein. “Ferrers diagram”. From MathWorld–A Wolfram Web Resource. [Accessed online on June 20, 2023.] url: https : / / mathworld . wolfram.com/FerrersDiagram.html.

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