令 $K$ 是有理數上的二次體擴張，而 $E$ 是ㄧ定義在 $K$ 上的橢圓曲線，並在 $K$ 上的整數環有複乘。對於 $K$ 上使 $E$ 有良好約化的質理想 $\idealP$, 令 $k_{\idealP}$ 是 $R_K/\idealP$ 且 $\tilde{E}$ 是 $E$ 對 $\idealP$ 作約化之後定義在 $k_{\idealP}$ 上的橢圓曲線。
我們主要的研究方向是考慮以下這兩類的橢圓曲線： $E_D:y^2=x^3-Dx$ ， $E^D:y^2=x^3+D$ ， 這裡 $D$ 可以是任意整數。
本文內容涵蓋
1.基本理論。
2.$\tilde{E}_D(k_{\idealP})$ 上的 $\ZZ[\imath]-$ 模結構。
3.$\tilde{E}^D(k_{\idealP})$ 上的 $\ZZ[\o]-$ 模結構。
4.有關格羅森特徵標(Gr\"{o}ssencharacter)的注解。

Let E/K be an elliptic curve defined over an imaginary quadratic field $K$ with complex multiplication by the ring of integers $R_K$ of $K$. For $\idealP$, prime of $K$ at which $E$ has good reduction, let $k_{\idealP}:=R_K/\idealP$ and $\tilde{E}/k_{\idealP}$ be the reduction of $E$ modulo $\idealP$.
Our main purpose is to study the $R_K$-Module structure of
$\tilde{E}(k_{\idealP})$ as $E$ to be the following two families of elliptic curves, $E_D:y^2=x^3-Dx$, $E^D:y^2=x^3+D$, for all $D\in\ZZ$.

[1]Koblitz, Neal.
Introduction to elliptic curves and modular forms.GTM 97. Springer-Verlag, New York, second edition, 1993.

[2]Rosen, M.
A Classical Introduction to Modern Number Theory. GTM 84. Springer-Verlag, New York, 1984.

[3]Silverman, Joseph H.
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[4]Washington, Lawrence C.
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