本研究目的是探討透過數學案例討論支持教師對學生小數認知知識。研究者於校內成立數學案例討論團體，透過五位國小教師參與七次案例討論、前測、後測…等方法蒐集相關資料。討論的案例內容包含「小數的整數倍」與「整數的小數倍」有關教師對學生解題認知知識。本研究發現透過數學教學案例討論，能支持教師對學生小數認知知識的成長，包括：一、教師預測學生小數解題策略－影響教師預測學生解題，包括教師之教學經驗、案例所提供的學生解題策略、案例所提問的問題討論。二、教師分類學生小數解題策略－教師依學生圖畫表徵分類、教師依學生做答想法分類、教師依學生口述說明過程分類。三、教師解釋學生的小數解題策略－教師解釋著重在學生解題過程中出現的不合理處、教師著重在學生的迷思概念，解釋學生解題背後的錯誤想法。四、教師瞭解學生在小數的學習困難－教師發現學生將小數點左右兩邊的數視為兩個獨立的整數、教師指出學生會有隱含的錯誤、發現學生圖畫表徵與其作答內容不符、學生將單位小數的內容物個數皆視為1的迷思、學生忽略小數點或錯認單位量、學生「倍的語言建立」的困難、學生因為混淆而答不出正確的單位、教師覺察學生為什麼會容易混淆兩種以上單位的意義…等。五、教師依學生認知發展，妥適安排學生解題策略教學順序－教師能透過學生解題策略的呈現，進而能注意到學生小數概念發展，來安排其教學順序。六、教師依學生學習困難處找到合適解決方法－運用過去教學經驗與「關鍵性問話」，引導學生將其解題記錄說清楚、檢驗學生對解題過程是否完全瞭解；教師提出用「圖解」、「提醒」幫助學生解題。研究結果也顯示，教師透過參與數學案例討論，能進行反思、察覺的專業成長。

This paper was designed to investigate how the discussions of mathematics teaching cases helped to broaden a teacher’s knowledge about his/her students’ cognitive process in learning decimal fractions. For the purpose of gathering information, the researcher invited five home-room teachers from the same school to form a discussion group. A series of seven meetings were arranged for the teachers to review mathematics teaching cases. In addition to the seven case discussions, a pretest and a posttest were also administered to collect research data. During the meetings, the focus of discussion was placed on the teacher’s knowledge about his/her students’ cognitive process in solving math problems with decimals. The findings of the investigation suggested the teachers joining the discussion group had extended their knowledge about their students’ cognitive process in terms of solving math problems with decimal fractions. The knowledge expansion is summarized in six areas as follows.
1. In the area where the teacher predicted students’ strategies in solving math problems with decimals, the following factors were at play to affect the teacher’s prediction: the teachers’ past teaching experience, the problem-solving strategies being employed in the cases studied, and the strategies mentioned in the discussion questions adhered to the studied cases.
2. In the area where the teacher categorized students’ strategies in solving math problems with decimals, the categorization was done according to the charts and diagrams students drew in their answers, their ideas shown on their answer sheets, and their oral descriptions of the problem-solving procedure.
3. In the sector where the teacher interpreted students’ strategies in solving math problems with decimals, the interpretation was centered on the illogical procedures, incorrect concepts, and the erroneous ideas which led to fallacious approaches.
4. The teacher knew what difficulties students could have encountered when solving math problems with decimals: First of all, the teacher knew that some students mistook the numbers on both sides of the decimal point for unrelated whole numbers; sometimes charts and diagrams drawn by the students were inconsistent with the other part of their written answers; students might mistake the content of a tenth or a hundredth for that of the number one; some students ignored the decimal point or misunderstood amount of the unit of measurement; some students didn’t know how to use the language term “multiple” to define their arithmetical calculations. Apart from that, the teacher understood that some errors the students made might be not easily recognizable. As well, the teacher realized that occasionally students were not able to give an answer with the right unit of measurement, and he/she knew the reasons why they confused the units of measurement.
5. The teacher introduced varied problem solving skills in an appropriate order to attend to students’ developmental needs. Having learned the problem solving strategies presented in the teaching cases and discussions, the teachers gradually perceived the developmental features of students’ cognitive process in learning decimals.
6. The teacher found solutions to help students overcome individual learning difficulties. To pinpoint the difficulties they would come across, the teacher could ask “key questions” to guide students to explain in details how they solve the math problems. The teacher could also check whether students understood all steps of the problem-solving procedure in order to detect any possible difficulties, After the difficulties had been identified, the teacher could use pictures, diagrams and other hints to help students solve the math problems.

中文部份
尤彥喬（2004）。國小三年級學童除法文字題解題情形及策略轉變之研究。屏東師範學院數理教育研究所碩士論文，未出版，屏東市。
王麗雲（1999）。個案教學法之理論與實施。課程與教學季刊，2（3），117-134。
艾如昀（1994）。國小學生處理小數的歷程與困難。國立中正大學心理研究所碩士論文，未出版，嘉義。
呂玉琴（1994）。國小教師分數教學之相關知識研究。國立臺灣師範大學科學教育研究所博士論文，未出版，臺北市。
李佳陵與鍾靜（2007）。數學種子教師專業知能內涵之探討。師大學報，科學教育類，52，23-47。
李源順與林福來（1998）。校內數學教師專業發展的互動模式。師大學報，科學教育類，43（2），1-23。
李源順與林福來（2000）。數學教師的專業成長：教學多元化。師大學報，科學教育類，45（1），1-25。
李源順（2005）。學生教師運用知識庫學習數學教學：理論與實務的連結。科學教育學刊，3（1），53-70。
杜建臺（1996）。國小中高年級學童小數概念理解之研究。國立臺中師範學院國民教育研究所碩士論文，未出版，臺中市。
邱佳寧（2001）。國小數學學習障礙學生解題策略之研究。彰化師範大學特殊教育研究所碩士論文，未出版，彰化。
林文生（1996）。一位國小數學教師佈題情境及其對學生解題交互影響之分析研究。國立臺北師範學院國民教育研究所碩士論文，未出版，臺北市。
林宏仁（2003）。國小教師數學教學信念及其教學評估之研究：以高年級學童分數概念學習表現為例。屏東師範學院心理輔導教育研究所碩士論文，未出版，屏東市。
林昭珍、吳淑娟、蔣治邦與謝堅（2002）。小數的數概念與運算。載於周筱亭與黃敏晃（主編），國小數學教材分析－小數的數概念與運算（10-94頁）。臺北：教育部臺灣省國民學校教師研習會。
林碧珍（1987）。數學教師應有的認識。國教世紀，23（3），35-40。
林碧珍（1997）。數學教師在教學成長計劃下的知識成長－個案研究。第十三屆科學教育學術研討會，399-405。
林碧珍（2000）：在職教師數學教學專業發展方案的協同行動研究。國立新竹師範學院學報，13，115-148。

林碧珍（2001）。發展國小教師之學生數學認知知識－理論結合實務研究取向的教師專業發展。臺北：師大書苑。
林碧珍、蔡寶桂與陳姿靜（2001）。在職教師數學專業發展行動研究之研究模式。國立屏東師範學院（主編）。教育行動研究與教學創新（上冊），199-238。臺北：揚智。
林碧珍（2004）。反思中的反思：以數學教學專業對話為例。海峽兩岸教育行動研究研討會論文集，63-79。北京師範大學教育學院，北京市。
林碧珍（2005）。營造「我—您的分享關係」的研究關係之數學教學專業對話。載於黃毅英（主編），迎接新世紀：重新檢視香港數學教育（614-645頁）。香港沙田中文大學。
林碧珍（2006）。研發、評估、和推廣教師專業發展的學習策略之研究（2/3）。行政院國科會專題研究計畫成果報告，計畫編號：NSC94-2521-S-134-002。
林碧珍（2007）。數學教學案例－小數篇。臺北：師大書苑。
林業泰（2004）。國小教師對高年級學生分數概念的瞭解。國立臺北師範學院碩士論文，未出版，臺北市。
林麗雲、姚如芬（2002）。探討國小五年級學童小數迷失概念之研究。科學教育研究與發展季刊，28，75-92。
洪義德（2002）。不同表徵面積題目對國小六年級學生解題表。國立臺北師範學院數理教育研究所碩士論文，未出版，臺北市。
吳清源（2003）。討論式教學的特質與成效分析。國立臺灣師範大學物理研究所碩士論文，未出版，臺北市。
洪振傑（2003）。從推廣面探討數學種子教師培育之研究。國立臺北師範學院數理教育研究所碩士論文，臺北市。
柯藍婷（2003）。數學專業成長團體中一位五年級教師的分數專業知識。國立新竹教育大學數理研究所碩士論文，未出版，新竹市。
高菁霞（2001）。一個嘗試落實國小數學新課程精神之初任教師的教學現況探討。國立臺北師範學院數理教育研究所碩士論文，臺北市。
徐玉珊（2006）。國內國民小學教師學習型組、教師專業成長與學校效能關係之研究。銘傳大學應用統計資訊系碩士班碩士論文，未出版，臺北市。
孫德蘭（2005）。國小教師解讀數學教科書~以分數乘法教材為例。國立新竹教育大學人資處數學教育碩士班碩士論文，未出版，新竹市。
許美華（2000）。正整數乘法問題解題活動類型之變化—以一個國小二年級學童為例。國教學報，12，143-178。
吳昭容（1996）。先前知識對國小學童小數概念學習之影響。國立臺灣大學心理學研究所博士論文，未出版，臺北市。
陳姿靜與吳美花（2007）。整數的小數倍。載於林碧珍（主編），數學教學案例－小數篇（115-145頁）。臺北市：師大書苑。

陳啟明（2000）。同題目表徵型式及相關因素對國小五年級學生解題表現之影響。國立嘉義大學國民教育研究所碩士論文，未出版，嘉義市。
陳福正（2007）。國小六年級學童梯形面積之解題策略探討解題策略探討。國立臺中教育大學數學教育學系在職進修教學碩士學位班碩士論文，未出版，臺中市。
陳錦傳（1994）。國小學童角的大小比較的解題策略之研究。國立臺中師範學院初等教育研究所碩士論文，未出版，臺中市。
陳國雄（2006）。國小四年級學童整數四則運算問題的解題策略與錯誤類型之研究。國立屏東教育大學數理教育研究所碩士論文，未出版，屏東市。
郭正仁、謝哲仁（2003）。國二生多項式四則運算錯誤類型之調查研究。科學教育研究與發展，31，54-77。
郭杏緣（2008）。數學案例討論支持一位初任教師分數教學布題之轉變。國立新竹教育大學人資處數學教育碩士班碩士論文，未出版，新竹市。
郭重吉（1992）。從建構主義的觀點探討中小學數理教學的改進。科學發展月刊，20（5），548-568。
梁文鎮（2006）。一位五年級教師小數教學之行動研究。國立新竹教育大學人資處數學教育碩士班碩士論文，未出版，新竹市。
梁惠珍（2003）。國小四年級小數診斷教學之研究。國立屏東師範學院數理教育研究所碩士論文，未出版，屏東市。
游自達（1995）。數學學習與理解之內涵-從心理學觀點分析。初等教育研究集刊，3，31-45。
游麗卿（1999）。小學一年級學生在數學課所表現出的溝通能力。八十八學年度師範學院教育學術論文發表會論文集。
張民傑（2001）。案例教學法－理論與實務。臺北：五南圖書出版公司。
張淑玲（2005）。合作成長小組促進國小教師數學教學知能與反思能力成長之探討。國立臺灣師範大學數學系博士論文，未出版，臺北市。
張淑萍（2006）。一位教師實踐五年級小數教學之行動研究。國立新竹教育大學人資處數學教育碩士班碩士論文，未出版，新竹市。
張淑萍、梁文鎮與陳姿靜（2007）。小數的整數倍。載於林碧珍（主編），數學教學案例－小數篇（65-114頁）。臺北市：師大書苑。
黃永和（1996）。國小實習教師數學學科教學知識之個案研究。國立新竹師範學院初等教育學系碩士論文，未出版，新竹市。
黃美玲（2006）。國小數學教師團體團隊學習之個案研究-以國立臺北教育大學在職進修課程為例。國立臺北教育大學數學教育研究所碩士論文，未出版，臺北市。
黃家傑（2003）。國小一般智慧資優資源班新生數學解題歷程之分析。國立中山大學教育研究所碩士論文，未出版，高雄。
黃敏晃譯（1988）。數學解題的教學，近25年來的回顧。數學傳播季刊，12（2），26-43。
傅宗聖（2006）。國小六年級學童比例問題之解題策略與成效分析。國立臺南大學數學教育學系碩士論文，未出版，臺南市。
趙坤川（2006）。國小六年級擬題教學之研究~以小數加減運算及大小比較概念為例。國立中山大學教育研究所碩士論文，未出版，高雄。
楊婷雅（2003）。數學成長團體中一位教師的教材分析對其教學佈題之影響。國立新竹師範學院數理研究所碩士論文，未出版，新竹市。
溫世展與呂玉琴（2000）。一位國小數學教師的教學信念及教學相關知識對其數學教學的影響。八十八學年度師範學院教育學術論文發表會論文集Ⅲ，175-204。臺北：國立臺北師範學院。
溫世展與呂玉琴（2004）。影響國小教師數學教學相關信念與教學是否一致之原因探討。國立臺北師範學院學報，17（2），23～52。國立臺北師範學院。
鄭吉松（2004）。訊息的提示對學生解題的影響。國立彰化師範大學數學系所碩士論文，未出版，彰化。
鄭秋定（2001）。國小學童正整數除法問題解題策略之分析研究。國立臺南大學數學教育學系碩士論文，未出版，臺南市。
鄭皓元（2004）。國小高年級學童的面積問題解題策略之研究。國立臺北師範學院數學教育研究所碩士論文，未出版，臺北市。
劉曼麗（1996）。談師院生在小數上常發生的幾個錯誤觀念。屏師科學教育月刊，3，11-17。
劉曼麗（1998）。國小數學新課程對「小數」概念的處理方式。屏師科學教育月刊，7，1-9。
劉曼麗（2001）。國小學童的小數知識研究。屏東師院學報，14，823-858。
劉曼麗（2003）。國小學童小數及小數運算迷思概念之診斷教學研究（III）。行政院國家科學委員會專題研究計劃成果報告，NSC91-2521-S-153-001。
劉曼麗（2005）。九年一貫數學領域分數與小數能力指標的詮釋：子計畫三－小數。行政院國家科學委員會專題研究計劃成果報告，NSC-92-2522-S-153- 008。
劉燕芬（2005）。國小五年級學童在情境與純數字的比較分數大小問題之解題研究。國立嘉義大學數學教育研究所碩士論文，未出版，嘉義市。
鄧優君（1997）。師院實習生數學教學實踐之省思與成長。國立嘉義師範學院國民教育研究所碩士論文，未出版，嘉義市。
蔡啟禎（2003）。國小中年級資優生數學解題歷程分析。國立中山大學教育研究所碩士論文，未出版，高雄市。
蔡執仲與段曉林（2003）。進行探究式教學學生對理課室學習環境知覺之影響。載於中華民國第十九屆科學教育學術研討會－探究導向之科學教育對學生學習動機之影響，127-133。

蔡玉宜（2004）。國小教師對中年級學生分數概念的瞭解。國立臺北師範學院數理教育研究所碩士論文，臺北市。
謝淡宜（1998）。小學五年級數學資優生與普通生數學解題時思考歷程之比較。臺南師院學報，31，225-268。
鍾靜（1999）。落實國小數學新課程之意圖與學校本位的進修活動。課程與教學季刊，2（1），15-35。
關定偉（2007）。透過分數教學案例討論提昇教師分數教學知識成長之研究。國立新竹教育大學人資處數學教育碩士班碩士論文，未出版，新竹市。
譚寧君（1999）。從兒童的測量迷思概念看教師對兒童測量知識的瞭解。國立臺北師範學院學報，12，407-436。
蕭毓秀與鍾靜（2002）。國小學生時間文字題的解題研究。國教學報，14，21-42。

英文部分
Ball, D. L., & Cohen, D. K. (1999).Developing practice, developing practitioners: toward a practice-based theory of professional development. In L. Darling-Hammond & G. Skyes (Eds.), Teaching as the learning professional: Handbook of policy and practice. (pp. 3-32). San Francisco: Jossey-Bass.
Barnes, L. B., Christensen, C. R. & A. J. Hansen,(Eds.),(1994).Teaching and the case method (3rd ed). Boston: Harvard Business School Press.
Carpenter, T. P., Fennema, E., Peterson, P. L., & Carey, D. A. (1988).Teachers’ pedagogical content knowledge of students’ problem solving in elementary arithmetic.Journal for Research in Mathematics Education, 19, 29-37.
Fennema,E., & Franke, M. L. (1992).Teachers’ knowledge and its’ impact. In D. A. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning, 147-164, NY: Macmillan.
Hadjidemetriou,C., & Williams, J. S. (2002). Teachers’ Pedagogical Content Knowledge: Graphs, from a Cognitivist to a Situated Perspective. Proceedings of the 26th conference of the international group for the psychology of Mathematics Education. 3, 57-64.
Hengartner, E., & Rothlisberger, H.(1993). Rechenfahigkeit von Schulanfangern. Students’ airthmetical abilities at the beginning of primary school.Zofingen/Basel：Hoheren padagogische Lehranstalt/Padagogischen Institut.(internal publication)
Hill, H. C., Ball, D. L., & Schilling, S.(2008a). Unpacking” pedagogical content knowledge”: Conceptualizing and measuring teachers’ topic-specific knowledge of students. Journal for Research in Mathematics Education, 39(4), 372-400.
Hill, H. C., Blunk, M. L., Charalambous, C. Y., Lewis, J. M., Phelps, G. C., Sleep, L., & Ball, D. L.(2008b). Mathematical Knowledge for teaching and the mathematical quality of instruction: An exploratory study. Cognition and Instruction, 26, 430-511.
Klein, R., & Tirosh, D.(1997). Teachers pedagogical content knowledge of multiplication and division of rational numbers. In E. Pehkonen(Ed.), Proceedings of the Conference of the 21th Interational Group for the Psychology of mathematics Education, 3, 144-151.
Lin, P. J.(2002). On enhancing teachers' knowledge by constructing cases in classrooms.Journal of Mathematics Teacher Education.5(4), 317-349.
Lin, P. J.(2006). Teacher’s learning about students’ cognition through analyzing students’ writing in mathematics. Educational Researcher, 15(2), 4-14.
Merseth, K. K.(1996). Cases and case methods in teacher education. In J. Sikula.,(Ed.), Handbook of research on teacher education(pp. 722-744). New York: MacMillan Publishing Company.
National Council of Teachers of Mathematics(2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, VA.NCTM.
Peterson, P. L. (1988). Teachers and Students’ Cognitional Knowledge for Classroom Teaching and Learning. Educational Researcher, 17(5), 5-14.
Selter, Chr.(1993). Die Kluft Zwischen den arithmetischen Kompetenzen von Erstklazlern und dem Pessimismus der experten.The gap between the mathematical competence of first-graders and the pessimism of experts. Dortmund：Universitat Dortmund.
Shulman, L.S.(1986). Those who understand: Knowledge growth in teaching. Educational Researcher, 15(2), 4-14. EJ 330-821.
Shulman, J.H.(1992). Case methods in teacher education(pp. 1-30). New York: Teachers College Press.