光子晶體於1987年，由E.Yablonovitch和S.John提出[1]，並在1989年由Yablonovitch和Gmitter在實驗上驗證光子晶體的存在[2]；1990年Ho、Chan、Soukoulis使用平面波展開法(plane-wave expansion method)解馬克士威爾方程式(Maxwell Equation)，計算三維光子晶體能帶圖[3]；1991年M.Plihal更利用平面波展開法解馬克士威爾方程式，計算二維三角與正方晶格的光子晶體能帶圖[4]。除此之外光子晶體的計算法還有：Layer-Korringa-Kohn_Rostoker method(KKR)[5]、Multiple-scattering theory[6]、Finite-difference time domain(FDTD)[7]、Transfer-matrix method(TMM)[8]，不同的方法適合不同結構、不同的材料。

光子晶體是由介電材料週期性的排列所構成的，不同的排列方式、不同的材料會造成能帶圖的不同；在特定的晶格結構、介電常數、晶格填充比例下會得到完全能隙，也就是在此頻段的電磁波完全無法傳遞。如同電子在晶體中受到週期性位能勢的散射，而形成能帶。，更可在光子晶體中加入缺陷(defect)，造成和週期性不同的排列，以達到光傳遞。透過前敘的計算法我們可以製作出需要的光學元件，如濾波器，光波導，光纖等在光電及光通訊產業大量應用的光學元件。

一般而言，平面波展開法是計算光子晶體能帶圖中容易理解其理論推導、又計算結果易於瞭解的方法，但其除了在一般的介電值計算中有普遍的討論；在介電值極大、或為負整數、或含有損耗、甚至含有金屬的理論計算，我們在文獻中都沒有發現。而當前對光子晶體的製作已經不再侷限在介電材料了，而含金屬的光子晶體亦不在少數，而含金屬的光子晶體能帶圖之理論計算亦不在少數[9][10]，對於其能帶的計算難道不可以用平面波展開法去計算嗎？

本論文分為四章，本章介紹光子晶體之發展及介紹；第二章為光子晶體和金屬之介電值的理論推導；第三章則為光子晶體以平面波展開法對不同狀況下計算所得的能帶圖及分析；第四章則為本論文之結論。

[1] E. Yablonovitch Phys.Rev. Lett. 58,2059(1987)

[2] E. Yablonovitch and T. J. Gmitter Phys.Rev Lett. 65,3152(1990)

[3] K. M. Ho, C, T, Chan, and C, M, Soukoulis Phys.Rev.Lett.

65,3152(1990)

[4] M. Plihal and A. A. Maradudin, Phys,Rev,B 44,8565(1991)

[5] K. M. Leung, and Y, Qiu, Phys.Rev.B 48,7767,(1993)

[6] X. D. Wang, X-G. Zhang, Q. L. Yu, and B, N, Harmon Phys.Rev,B

47,4161(1993)

[7] J, B. Pendry. A. MacKinnon, Phys.Rev.Letter.69,2772(1992)

[8] Ya-Chih Tsai, John B. Petry ,Kenneth W.-k, Shung, Phys.Rev.B

59,10401(1999)

[9] Chongjun Jin, Bingying Cheng, Baoyuan Man, and Daozhong Zhang Appl. Phys. Lett. 75,9,1201(1999)

[10] Zhi-Yuan Li, I. EI-Kady, and Kai-Ming Ho, S. Y. Lin and J. G. Fleming Appl. Phys. Lett. 93,1,38(2002)

[11] Ashcroft and Mermin ,"Solid State Physics"

[12] 王海蒂 "兆赫頻段二維光子晶體-採用蝕刻過的矽晶片疊堆,清華大學物理系碩士論文，民90