本研究旨在探討國小二到五年級的學童在乘法的表徵方面的解題表現，並依照其在測驗中的表現給予不同的層次區分，從縱的方面看兒童的學習；另一方面，分別從乘法方面及表徵方面看學童在此兩個面向的表現；而最後從各層次中選出答對率高於50％的試題，希望找出適合各層次的試題。本研究針對二到五年級的學童進行測驗，而在測驗之後從學童實際的表現將其區分層次，探討學童年級與層次間的關係。而區分層次的方法是使用FCM演算法進行分群。研究對象採立意取樣，採用新竹縣市三所小學的二到五年級學童，共36個班級，有效樣本992位。本研究發現：
（一） 從測驗的整體回答來看，年級越高、表現越好，五年級表現的最好，依序是四年級、三年級、二年級；年級越高越能夠一致地使用交換律解題。
（二） 從各層次的表現而言，區分的四個層次，每個層次間存在顯著性差異，且隨著層次提升、表現越好。二年級的學童大部分分佈於層次Ⅰ、Ⅱ，三年級的學童大部分分佈於層次Ⅱ、Ⅲ，四年級的學童大部分分佈於層次Ⅲ、Ⅳ，而五年級的學童大部分分佈於層次Ⅳ。層次Ⅰ的學童堅持使用交換律解題，而層次越高使用率越高。
（三） 在乘法方面，學童在乘法性質表現最差，其他方面則無顯著性差異；在單位量概念、問題情境及乘法性質中，越高年級的學童表現的越好，而在乘法基本事實中，除了三、四年級無差異外，越高年級依舊表現較好。
（四） 從表徵方面，學童在「創造使用表徵」表現最好，「解釋數學表徵」次之，而「選擇運用轉換表徵」最差。
（五） 試題表現方面，層次Ⅰ的學童對於創造表徵的試題較能夠掌握，而在辨識表徵方面的試題都沒有答對率超過50％以上。層次Ⅱ的學童在測驗中的表現，答對19題，但是對於辨識表徵的題目還是有些困難（十題中只答對四題）。而在層次Ⅲ中，對於大部分的題目都能夠掌握，只有在乘法的性質中的四題及一題組合型問題。最後，層次Ⅳ的學童能夠正確回答此測驗的所有問題。

The objective of this research was to determine the competency of 2nd to 5th grade primary school students in multiplication skills. The data were analyzed to determine the participants' performance of the different grade levels. It was observed that primary school students, through the results of the examinations, answered at a fifty percent or greater rate. In addition, different grade levels were distinguished to show the connection. A total of nine hundred and ninety two students were sampled between the grade levels from three primary schools of HsinChu County. The results are as follows:

1. The results indicated that students from the 5th grade level performed the best, followed by the 4th, 3rd, and 2nd.

2. Within the different grade levels, students performed at different levels. It turned out that students from the grade levels had attained significantly higher performance at higher level questions than the students at the lower level grades.

3. In basic multiplication, it was determined that primary school students performed the worst. There no significant difference between the grades levels when tested on the concept of unit, question occasion and the nature of multiplication. It was also decerned that students from the higher grade levels performed better in the basic factor of multiplication, but students from the 3rd and 4th grades had no significant difference in their results.

4. Primary students performed best in the representation of creative use, then explanation of mathematics but did not perform well in the representation of selection transformation

5. In evaluating the results of the examinations, students of grade could understand the concept of creative use, but failed to answer over 50% of the time in representation of identification. The students from the 2nd level could do better, but still had difficulty in representation of identification. The results form the higher grades showed an increasing improvement in performance resulting in 5th grade students answering all the questions correctly.

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