A model calibration problem in financial engineering refers to solving a nonlinear optimization problem to best fit the implied volatility surface. Since the term structure of implied volatilities is complex, we consider a class of stochastic volatility models as dynamics of underlying risky assets. Option prices associated with these models don't admit closed-form solutions. Hence the Monte Carlo simulation method is employed to estimate option prices.

To reduce dimensions of the calibration problem, we propose a two-stage procedure to separate estimations of model parameters. The first stage applies a corrected Fourier transform method to estimate asset dynamics under the historical (or physical) probability measure. The second stage aims to estimate the rest model parameters including the risk premium of volatility under a risk-neutral probability measure. A variance reduction method, i.e. control variate, and quasi random numbers are used to improve the accuracy of Monte Carlo simulation.

The whole study will be extended to American option data. In addition to the ability of capturing implied volatility, we also interested in some phenomenons from the two-stage procedure. The market price of volatility risk can be realized from solving this calibration problem by comparing changes of model parameters estimated in the two-stage procedure. With Taiwan data, the maturity effect can be observed. According to the General Linear Test Approach, there are linear relations between the volatility risk premium and open interest of the nearest maturity and the time to maturity.

不論在訂價或是避險上，對於模型都有其一定的依賴程度。經由模型校準，可以使模型即時的反應市場的資訊，降低因為模型失準而造成的損失。在財務工程領域，模型校準旨在解決一非線性的最佳化問題，以求能夠精準的配適隱含波動率。由於隱含波動率的期間結構十分複雜，因此我們引入隨機波動率模型來描述風險性資產標的物的動態行為。目前在模型校準的工作上都聚焦在當目標衍生性商品有封閉解的狀況下，為了針對那些不具有封閉解的衍生性商品也能進行模型校準，本篇提出一個兩階段蒙地卡羅校準法來達成此一目標。此兩階段蒙地卡羅校準法主要有兩個面向的優勢：

第一：在一般性方面，除了能對無封閉解的商品進行模型校準外，此方法也並未受限於某種特定的隨機波動率模型而能夠搭配其它不同的隨機波動率模型。
第二：在效率性方面，此兩階段蒙地卡羅校準法，試圖將模型中的參數分開估計，以減少校準時的負擔。

此方法的第一階段，我們將會使用修正後的傅立葉方法，在歷史機率測度下估計模型的參數。修正後的傅立葉方法是由 Chen 在2010年的論文中，對 Malliavian 及 Macino 為了估計波動率所提出的傅立葉方法，所做的一個線性修正，根據此修正後傅立葉方法，能夠更精確的估計波動率。在此估計波動率的基礎上，對兩個常見的隨機波動率模型，Heston 以及 Vasicek ，利用最大概似法 (MLE) 可以得到模型中 (α、β、m) 的估計值。

第二階段我們將基於風險中立的機率測度，在兩機率測度為等價的假設下，引入第一階段估計出的參數 (α、β)，利用蒙地卡羅法搭配上變異數縮減 (variance reduction) 的技術，藉著解一最佳化問題來校準剩下的模型參數 ( m*、ρ*)。本篇論文所使用的變異數縮減法是由 Fouque 和 Han 在 2007 年所提出的馬丁革爾控制變異 (martingale control variate)。加入此馬丁革爾控制變異，可以藉著縮減變異數，有效的增進基本蒙地卡羅法對衍生性商品訂價的精準度，以增進校準時的收斂速度。此處最佳化問題定義為最小化由模型計算而得的隱含波動率與由實際市場計算而得的隱含波動率，兩者間的均方誤差 (mean square error)。

本篇論文第二章將會詳細介紹此兩階段蒙地卡羅校準法的流程，並介紹建構此兩階段蒙地卡羅校準法所需要的技術，包含傅立葉法、修正後傅立葉法、基本蒙地卡羅法以及馬丁革爾控制變異法。

第三章我們將聚焦在此兩階段蒙地卡羅校準法對隱含波動率曲線的補捉效果。由於傳統傅立葉法 (FFT) 對 Heston 模型校準的好表現已是眾所皆知的事實，因此本章將藉著與 FFT Heston 的比較來突顯此兩階段蒙地卡羅校準法的表現。在資料方面，我們使用S&P 500指數以及它的指數選擇權 (SPX)，針對某個到期日的歐式買權進行模型校準，並利用此校準後的模型來探察對隱含波動率曲線的配適程度。實驗結果發現，經由 FFT 對 Heston 模型校準所得到的隱含波動率曲線配適誤差會是兩階段蒙地卡羅校準法所得到的隱含波動率曲線配適誤差的10倍左右。另外，為了展現兩階段蒙地卡羅校準法的一般性，本章也將此兩階段蒙地卡羅法搭配 Vasicek 模型，實驗結果發現，以Vasicek 代替 Heston 模型仍可得到相同的誤差級數 ( )。

除了捕捉隱含波動率曲線，我們更有興趣的是捕捉隱含波動率的整個曲面。由於 Fouque 等人在 2003 年經由一些對選擇權逼近的過程中，發現隱含波動率的曲面可由兩個不同的時間尺度來更精準描述，因此在第四章將會藉著與 Fouque 等人所提出的time-varying LMMR 方法的比較，來檢視此兩階段蒙地卡羅校準法對隱含波動率曲面的配適效果。實驗結果顯示，經由 time-varying LMMR所得到的隱含波動率曲線配適誤差同樣也是兩階段蒙地卡羅校準法所得到的隱含波動率曲線配適誤差的10倍左右。第五章我們將此兩階段方法推廣到美式選擇權上，對 S&P 100指數以及其美式賣權，在 Vasicek 模型架構下進行校準。在進行校準的第二階段中，美式選擇權的評價，我們使用 Duality 方法當做上界解，LSM方法做為下界解，並取兩者的平均為最終美式選擇權的模型價格。實證結果顯示，此兩階段蒙地卡羅校準法可以輕易的推廣到當衍生性商品沒有封閉解的情況，並能保持其精準度。

兩階段蒙地卡羅校準法的另一個好處是能夠觀察到在不同機率測度下模型參數的變化，此一特性能夠幫助我們觀察到更多資料所隱含的訊息。第六章我們引入台灣的資料，因為流動性的關係，資料包含高頻率的台灣大盤指數以及其最近月的指數選擇買權。在 Vasicek 模型架構下，我們觀察到在實驗期間的到期前後其參數變化 (m-m*) 有一特殊的樣式，稱之為到期日影響 (maturity effect)。第七章則是總結本篇對於隱含波動率捕捉的表現，以及不同機率測度下參數變化所隱含的訊息。

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