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研究生： 李國紳
Kuo-Shen Lee
論文名稱： 影像事前機率在正子斷層掃描之研究
An Investigation of Image Priors in Positron Emission Tomography
指導教授： 許靖涵
Ching-Han Hsu
口試委員:
學位類別： 碩士
Master
系所名稱： 原子科學院 - 生醫工程與環境科學系
Department of Biomedical Engineering and Environmental Sciences
論文出版年： 2004
畢業學年度： 92
語文別： 中文
論文頁數： 81
中文關鍵詞： 正子斷層掃描 、影像事前機率
外文關鍵詞： Positron Emission Tomography (PET), Image prior
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    • 最大相似度與期望值最大化演算法（Maximum Likelihood Expectation Maximization，MLEM）在正子斷層掃描（Positron Emission Tomography，PET）上用來進行影像重建，會因為PET本身具有不健全性（ill-condition）的問題存在，使得微量的雜訊便可能造成重建影像值的變動性大幅增加。因此使用MLEM演算法會有隨著疊代次數增加，而使得重建影像有著變異性（variance）增大以及數值發散的問題存在。為了避免此一問題，我們改採用最大事後機率評估法（Maximum a Posteriori，MAP），來進行影像重建。此方法中影像事前機率（Image prior）為一極為重要的部份，不同的事前機率會對重建影像產生不同的影響，例如過度平滑（over-smoothing）使得重建影像中邊緣的部份消失。在本研究中，我們提出了Approximate ratio（AR）事前機率，將注重在保留重建影像中邊緣的部份，並兼具能將相同比例但絕對差異不同的區域維持在一相近比例的情況下。我們並進行各類假體的蒙地卡羅模擬（Monte Carlo study）來比較優劣，最後並使用Hoffman假體模擬真實情況，進行驗證。

    In Positron emission tomography (PET), image reconstruction using maximum likelihood expectation maximization (MLEM) suffers a problem which small noise could make reconstruction image exhibit high variance due to ill-condition. This motivates the development of some practical solutions to produce acceptable image. In this work, we consider the maximum a posteriori (MAP) estimation which combines the likelihood function with image prior under the paradigm of Bayesian statistics. The One-Step-Late (OSL) algorithm is used for the corresponding image reconstruction. The selection of proper image prior is the emphasis of this work. Different prior has different affect on reconstruction image. For example, quadratic prior has a well-known over-smoothing problem, which leads to the blurring of edges. Non-quadratic prior has better performance in maintaining edge information, but it is difficult in optimization. In this research, we proposed an approximate (AP) prior which can preserve edge regions by introducing the same penalty to those regions with same contrast. We also compare AR prior with other image priors such as: Quadratic, L1-Norm, Huber, Geman and McClure, Relative difference and Thin Plate. We use several point and line sources, and Hoffman phantom to evaluate the performance of various image priors. The proposed AR prior exhibits the best performance in terms of resolution and contrast recovery.

    目錄 第1章 前言 ........................................................................................... 1 第2章 正子斷層掃描原理 ................................................................... 3 第2-1節 物理原理 ......................................................................... 3 第2-2節 正弦圖 ............................................................................. 7 第3章 疊代式影像重建法 ................................................................... 9 第3-1節 正子斷層掃描之資料模型 ............................................. 9 第3-2節 最大相似度評估法 ....................................................... 10 第3-3節 最大相似度與期望值最大化演算法 ........................... 11 第3-4節 最大事後機率評估法 ................................................... 13 第3-5節 ㄧ步延遲期望值最大化演算法 ................................... 15 第4章 影像事前機率 ......................................................................... 18 第4-1節 吉布斯分佈 ................................................................... 18 第4-2節 相鄰系統 ....................................................................... 19 第4-3節 凸面函數 ....................................................................... 21 第4-4節 影像事前機率 ............................................................... 21 第4-4-1節 Quadratic事前機率 ....................................... 22 第4-4-2節 L1-Norm事前機率 ........................................ 23 第4-4-3節 Huber事前機率 ............................................. 24 第4-4-4節 Geman and McClure事前機率 ..................... 25 第4-4-5節 Relative difference事前機率 ......................... 26 第4-4-6節 Thin Plate事前機率 ...................................... 27 第4-5節 Approximate ratio事前機率 ......................................... 29 第5章 實驗模擬方法、結果與討論 ................................................... 32 第5-1節 實驗模擬方法 ……………..……………..................... 32 第5-1-1節 實驗一：解析度 ............................................. 33 第5-1-2節 實驗二：假體大小 ……………..................... 33 第5-1-3節 實驗三：影像對比值 ..................................... 34 第5-1-4節 實驗四：同比例維持與計數率 ..................... 35 第5-1-5節 實驗五：Hoffman假體與背景雜訊 ............... 36 第5-2節 結果與討論 ................................................................... 37 第5-2-1節 實驗一 ........................................................... 37 第5-2-2節 實驗二 ........................................................... 40 第5-2-3節 實驗三 ........................................................... 52 第5-2-4節 實驗四 ........................................................... 67 第5-1-5節 實驗五 ........................................................... 72 第6章 結論與未來方向 ..................................................................... 77 參考文獻 ............................................................................................... 80 圖目錄 圖 2-1. 放射性核種進行正子衰變時，與電子進行互毀反應，產生成 對光子以相反方向射出，由偵檢對同時接收，形成同符事件。………………………………………...…………...………. 3 圖 2-2. 路徑效應。 ……………………………………………....……. 4 圖 2-3. 互毀光子在射出時，可能會有0o ~ 0.5o角的偏差，而非呈180o角射出。 ………………………………………………………. 5 圖 2-4. 散射同符事件。 ……………..…………………………….….. 6 圖 2-5. 隨機同符事件。 ………………………………………...…….. 6 圖 2-6. 衰減效應。 ……………………………………………………. 7 圖 2-7. 正弦圖，縱軸為投影角度0∼π，橫軸為偵檢對位置。 ……………………………………………………...…… 8 圖 3-1. MLEM流程圖 ………………………………………………. 13 圖 3-2. OSL流程圖 ……………………………………………..…… 17 圖 4-1. 0階相鄰系統 …………………………………………...… 20 圖 4-2. 1階相鄰系統 ……………………………………………... 20 圖 4-3. 2階相鄰系統 ……………………………………………... 20 圖 4-4. 1階相鄰系統加權因子 …………………………...……… 20 圖 4-5. 2階相鄰系統加權因子 ……………………………...…… 20 圖 4-6. (a) 凸面函數 (b) 非凸面函數 …………………………..…. 21 圖 4-7. Quadratic事前機率 (a) 潛能函數 (b) 潛能函數之ㄧ階導函數 ……………………………………………………………. 22 圖 4-8. L1-Norm事前機率 (a) 潛能函數 (b) 潛能函數之ㄧ階導函數 …………………………………………………………..... 24 圖 4-9. Huber事前機率 (a) 潛能函數 (b) 潛能函數之ㄧ階導數 …………………………………………………………... 25 圖 4-10. Geman and McClure事前機率 (a) 潛能函數 (b) 潛能函數之ㄧ階導函數 …………………………………………..… 26 圖 4-11. Relative difference事前機率 (a) 潛能函數 (b) 潛能函數之ㄧ階導函數， 。 ………………………………..…… 27 圖 4-12. Thin Plate事前機率 (a) 能量函數相鄰系統 (b) 能量函數之一階導函數相鄰系統 ………………………………...…… 28 圖 4-13. AR事前機率（ ），（ ）(a) 能量函數圖 (b) 一階導函數圖 ……………………………………………...… 31 圖 4-14. AR事前機率，（ ）(a) 能量函數圖 (b) 一階導函數圖 ………………………………………………………...… 31 圖 5-1. 實驗一假體 …………………………………………………. 33 圖 5-2. 實驗二假體，Center，直徑為1、3、5、7與9個像素。 .… 34 圖 5-3. 實驗二假體，Off-Center，直徑為1、3、5、7與9個像素。 ……………………...…………………………………… 34 圖 5-4. 實驗三假體，直徑5 pixels，影像值對比變化2~4，上排為Center，下排為Off-Center。 ………………………………... 35 圖 5-5. 實驗三假體，直徑 7 pixels，影像值對比變化2~4，上排為Center，下排為Off-Center。 ………………………………... 35 圖 5-6. (a) 實驗四假體 (b) 計數值846166 (c) 計數值84616 (d) 計數值8461。 ……………………………………………………. 36 圖 5-7. (a) Hoffman假體 (b) 無背景雜訊正弦圖 (c) 含背景雜訊正弦圖。 …………………………………………………….… 37 圖 5-8. Background Variance = 0.33之重建影像。(a) Geman and McClure (b) Huber (c) L1-Norm (d) AR (e) Quadratic (f) Thin Plate (g) Relative difference。 …………………………...…. 38 圖 5-9. Background Variance = 0.50之重建影像。(a) Geman and McClure (b) Huber (c) L1-Norm (d) AR (e) Quadratic (f) Thin Plate (g) Relative Difference。 ……………………………... 38 圖 5-10. Background Variance = 0.33之剖面圖。 ………………….... 39 圖 5-11. Background Variance = 0.50之剖面圖。 …………………… 39 圖 5-12. FWHM變化圖。 ………………………………………...….. 40 圖 5-13. Center，直徑1 pixel。(a) Geman and McClure (b) Huber (c) L1-Norm (d) AR (e) Quadratic (f) Thin Plate (g) Relative difference。 …………………………………………………. 41 圖 5-14. Off-Center，直徑1 pixel。(a) Geman and McClure (b) Huber (c) L1-Norm (d) AR (e) Quadratic (f) Thin Plate (g) Relative difference。 ……………………………………………...….. 41 圖 5-15. Center，直徑3 pixels。(a) Geman and McClure (b) Huber (c) L1-Norm (d) AR (e) Quadratic (f) Thin Plate (g) Relative difference。 ………………………………………………..... 42 圖 5-16. Off-Center，直徑3 pixels。(a) Geman and McClure (b) Huber (c) L1-Norm (d) AR (e) Quadratic (f) Thin Plate (g) Relative difference 。 ……………………………………………… 42 圖 5-17. Center，直徑5 pixels。(a) Geman and McClure (b) Huber (c) L1-Norm (d) AR (e) Quadratic (f) Thin Plate (g) Relative difference。 …………………………………………………. 43 圖 5-18. Off-Center，直徑5 pixels。(a) Geman and McClure (b) Huber (c) L1-Norm (d) AR (e) Quadratic (f) Thin Plate (g) Relative difference。 ……………………………………………...….. 43 圖 5-19. Center，直徑7 pixels。(a) Geman and McClure (b) Huber (c) L1-Norm (d) AR (e) Quadratic (f) Thin Plate (g) Relative difference。 …………………………………………………. 44 圖 5-20. Off-Center，直徑7 pixels。(a) Geman and McClure (b) Huber (c) L1-Norm (d) AR (e) Quadratic (f) Thin Plate (g) Relative difference。 ……………………………………………...….. 44 圖 5-21. Center，直徑9 pixels。(a) Geman and McClure (b) Huber (c) L1-Norm (d) AR (e) Quadratic (f) Thin Plate (g) Relative difference。 ………………………………………………..... 45 圖 5-22. Off-Center，直徑9 pixels。(a) Geman and McClure (b) Huber (c) L1-Norm (d) AR (e) Quadratic (f) Thin Plate (g) Relative difference。 ………………………………………………..... 45 圖 5-23. 直徑1 pixel剖面圖。(a) Center (b) Off-Center。 ………...… 46 圖 5-24. 直徑3 pixels剖面圖。(a) Center (b) Off-Center。 …………. 47 圖 5-25. 直徑5 pixels剖面圖。(a) Center (b) Off-Center。 …………. 48 圖 5-26. 直徑7 pixels剖面圖。(a) Center (b) Off-Center。 ……...….. 49 圖 5-27. 直徑9 pixels剖面圖。(a) Center (b) Off-Center。 ……...….. 50 圖 5-28. 假體平均值。(a) Center (b) Off-Center。 ……………….….. 51 圖 5-29. Center，直徑5 pixels，Contrast 2:1。(a) Geman and McClure (b) Huber (c) L1-Norm (d) AR (e) Quadratic (f) Thin Plate (g) Relative difference。 …………………………………..……. 53 圖 5-30. Off-Center，直徑5 pixels，Contrast 2:1。(a) Geman and McClure (b) Huber (c) L1-Norm (d) AR (e) Quadratic (f) Thin Plate (g) Relative difference。 …………………………...…………… 53 圖 5-31. Center，直徑5 pixels，Contrast 3:1。(a) Geman and McClure (b) Huber (c) L1-Norm (d) AR (e) Quadratic (f) Thin Plate (g) Relative difference。 ……………………………………..…. 54 圖 5-32. Off-Center，直徑5 pixels，Contrast 3:1。(a) Geman and McClure (b) Huber (c) L1-Norm (d) AR (e) Quadratic (f) Thin Plate (g) Relative difference。 …………………………...………...…. 54 圖 5-33. Center，直徑5 pixels，Contrast 4:1。(a) Geman and McClure (b) Huber (c) L1-Norm (d) AR (e) Quadratic (f) Thin Plate (g) Relative difference。 ……………………………………...… 55 圖 5-34. Off-Center，直徑5 pixels，Contrast 4:1。(a) Geman and McClure (b) Huber (c) L1-Norm (d) AR (e) Quadratic (f) Thin Plate (g) Relative difference。 ……………………………...……...…. 55 圖 5-35. Center，直徑7 pixels，Contrast 2:1。(a) Geman and McClure (b) Huber (c) L1-Norm (d) AR (e) Quadratic (f) Thin Plate (g) Relative difference。 ………………………………………... 56 圖 5-36. Off-Center，直徑7 pixels，Contrast 2:1。(a) Geman and McClure (b) Huber (c) L1-Norm (d) AR (e) Quadratic (f) Thin Plate (g) Relative difference。 ……………………………...……….... 56 圖 5-37. Center，直徑7 pixels，Contrast 3:1。(a) Geman and McClure (b) Huber (c) L1-Norm (d) AR (e) Quadratic (f) Thin Plate (g) Relative difference。 ……………………………………...… 57 圖 5-38. Off-Center，直徑7 pixels，Contrast 3:1。(a) Geman and McClure (b) Huber (c) L1-Norm (d) AR (e) Quadratic (f) Thin Plate (g) Relative difference。 ……………………………...……...…. 57 圖 5-39. Center，直徑7 pixels，Contrast 4:1。(a) Geman and McClure (b) Huber (c) L1-Norm (d) AR (e) Quadratic (f) Thin Plate (g) Relative difference。 ……………………………………...… 58 圖 5-40. Off-Center，直徑7 pixels，Contrast 4:1。(a) Geman and McClure (b) Huber (c) L1-Norm (d) AR (e) Quadratic (f) Thin Plate (g) Relative difference。 ………………………………………... 58 圖 5-41. 直徑5 pixels，Contrast 2:1。(a) Center (b) Off-Center。 ….. 59 圖 5-42. 直徑5 pixels，Contrast 3:1。(a) Center (b) Off-Center。 ….. 60 圖 5-43. 直徑5 pixels，Contrast 4:1。(a) Center (b) Off-Center。 ….. 61 圖 5-44. 直徑7 pixels，Contrast 2:1。(a) Center (b) Off-Center。 ….. 62 圖 5-45. 直徑7 pixels，Contrast 3:1。(a) Center (b) Off-Center。 ….. 63 圖 5-46. 直徑7 pixels，Contrast 4:1。(a) Center (b) Off-Center。 ….. 64 圖 5-47. 直徑5 pixels，對比度比較。(a) Center (b) Off-Center。 ….. 65 圖 5-48. 直徑7 pixels，對比度比較。(a) Center (b) Off-Cente。 ….. 66 圖 5-49. 計數值846166。(a) Geman and McClure (b) Huber (c) L1-Norm (d) AR (e) Quadratic (f) Thin Plate (g) Relative difference。 ……………………………………………...… 68 圖 5-50. 計數值84616。(a) Geman and McClure (b) Huber (c) L1-Norm (d) AR (e) Quadratic (f) Thin Plate (g) Relative difference。………………………………………………..…. 68 圖 5-51. 計數值8461。(a) Geman and McClure (b) Huber (c) L1-Norm (d) AR (e) Quadratic (f) Thin Plate (g) Relative difference。 ……………………………………………...….. 69 圖 5-52. 計數值846166之剖面圖。 ………………………………..… 69 圖 5-53. 計數值84616之剖面圖。 ………………………………….... 70 圖 5-54. 計數值8461之剖面圖。 …………………………………….. 70 圖 5-55. 重建影像。(a) Geman and McClure (b) Huber (c) L1-Norm (d) AR (e) Quadratic (f) Thin Plate (g) Relative difference。 ……………………………...………………..… 72 圖 5-56. 剖面圖 (a) The 60th row (b) The 85th column。 ………...…. 73 圖 5-57. ROI in gray matter (a) Geman and McClure (b) Huber (c) L1-Norm (d) AR (e) Quadratic (f) Thin Plate (g) Relative difference。 …………………………………………………. 74 圖 5-58. ROI in white matter (a) Geman and McClure (b) Huber (c) L1-Norm (d) AR (e) Quadratic (f) Thin Plate (g) Relative difference。 …………………………………………………. 75 表目錄 表 5-1. 計數值846166之假體比值。 ……………………………….. 71 表 5-2. 計數值84616之假體比值。 ……………………………….... 71 表 5-3. 計數值8461之假體比值。 ………………………………..… 71

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