【序論】
在這節裡面我們提到此篇論文是王信華教授已發表論文的推廣，我們回顧王信華教授對此問題探討的來源與已知的研究結果，並且敘述其他學者對此類問題的相關研究。

【主要結果】
這篇論文包含一個定理 (Theorem 2.1) 以及一個透過該定理所得到的衍生定理 (Corollary 2.2)。我們所要研究的邊界值問題是透過所謂的Time map方法進行討論，因此在陳述主要的結果之前，我們先介紹所需的數學工具，並且，我們藉由五張圖清楚的表達該邊界值問題正解個數的演化情形，特別在只由一個臨界點的情況下，我們也針對該臨界點的性質做了一些討論。我們發現存在兩個以 q (q 介於 0 與 1 之間) 為變數的函數，p^*(q) 與 p_*(q)，其中 p^*(q) ＞ p_*(q) ＞ 1，使得當 p ＞ p^* 時此分枝曲線恰好只有一個臨界點；在 1 ＜ p ＜ p_*(q) 時分枝曲線具有三個以上的臨界點；而在 p ＝ 1 的時候則是呈現無窮震盪且具有無限多個臨界點。

【定理2.1的證明】
在這節我們針對定理2.1的三個情況（p ＞ p^*(q), 1 ＜ p ＜ p_*(q) 與 p ＝ 1）分別提出完整的証明內容。

【參考文獻】
我們在此條列此論文在序論、主定理以及證明中所引用的文獻。

【附錄】
最後這節包含六個部份 (Appendix A-G)，我們將主定理證明過程中較次要或瑣碎的部分完整補充於此，裡頭也包含了這節證明中所需要的參考書目。

We study the evolution and qualitative behaviors of bifurcation curves of positive
solutions for

–u〞(x) = λ f_{q,p} (u) = λ[ u^q (1– sin u)＋u^p ], –1＜x＜1,
u(–1) = u( 1) = 0,

where λ ＞ 0 is a bifurcation parameter, q ＜ 1 is a positive bifurcation parameter, and p ≧ 1 is an evolution parameter. We prove that, for given q ＜ 1, there exist numbers p_(q) ＞ p_(q) ＞ 1 such that, on the ( λ,∥u∥_∞)-plane, the bifurcation curve has exactly one turning point where the curve turns to the left for p ＞ p_(q), it has at least three turning points for 1 ＜ p ＜ p_(q), and it has infinitely many turning points for p = 1. Hence we are able to determine the (exact) number of positive solutions. In particular we give complete descriptions of the structure of bifurcation curves when p ＞ p_(q). Our results extend some results of Wang [Nonlinear Anal. 67 (2007) 1316–1328] from q ＝ 1 to 0 ＜ q ≦ 1.

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