本研究的目的是在數學推理規範發展下，探討五年級學生產生的數學推理類型有哪些及比較不同時期其發展情形為何，其研究結果發現如下：

（一）研究結果發現推理類型有五種：檢驗的推理、科學的推理、反駁的推理、投降與屈服的推理、怪物與例外的推理。

（二）另外結果分析發現學生的推理歷程隱含推理規範在其中，在初期學生剛接觸課室，大多學生為透過觀察問題提出猜想後，直接檢驗猜想正確性，檢驗答案正確後並沒有推到一般化，產生的推理路徑也就較簡單。在中期的全班討論中，推理類型出現次數較為平均，但推理類型較為多種，學生較能歸納發現數學關係提出猜想，並做推論驗證猜想使之一般化。到了後期全班討論，學生推理路徑會針對猜想檢驗正確性後，經過觀察會再次提出猜想並且做檢驗，運用不同的已知數學知識做推理動作，學生之間也會互相針對不正確的猜想或檢驗提出質疑與反駁，產生了矛盾再做重新觀察，產生較複雜的推理路徑。

The purpose of this research is to study how many mathematical reasoning types under the development of reasoning norms and how reasoning norms affect the mathematical reasoning types in long run. There are two major findings as follows:

（i）In this study, we found out there are five different reasoning types under the development of the reasoning norms as follows: testing reasoning, scientific reasoning, refutation reasoning, surrender reasoning, and monster and exception reasoning.

（ii）Another result of this study was found the reasoning norms affect the development of different reasoning types. In the early stage, most students formulate the conjectures through the observation, direct testing conjectures and checking answers correctly, but not produce the generalization, so the path of reasoning was simple. In the medium stage, different reasoning types produce more evenly, but more types of reasoning produce than early-stage. In this stage, we found out students more easy to find the patterns and mathematical relationships, proposing conjecture and testing it, and then make generalizations. At final stage, students’ reasoning produce are more complicated and variety. They can use different already learned knowledge to test the conjectures. When they faced incorrect conjectures, they provided counter example to refute the conjecture and produce the contradiction for this conjecture.

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