圓上的實驗設計與分析｜國立清華大學博碩士論文庫

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研究生：	林廉凱 Lian-Kai Lin
論文名稱：	圓上的實驗設計與分析 Design and analysis of experiments on circle
指導教授：	鄭少為 Shao-Wei Cheng
口試委員:
學位類別：	碩士 Master
系所名稱：	理學院 - 統計學研究所 Institute of Statistics
論文出版年：	2007
畢業學年度：	95
語文別：	中文
論文頁數：	71
中文關鍵詞：	反應曲面、實驗區間、建模區間、極軸、正規設計、拉丁超方陣設計、正交設計
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晶圓是製造半導體最重要的材料，將晶圓經過沈澱、蝕刻、加溫、光阻處理、塗佈、顯影等數百道加工程序，再依晶圓大小，就可切割成數十到數百顆的IC半導體晶粒。因為每一片晶圓皆由許多更小的IC半導體晶粒組成, 若要決定晶圓的品質優劣, 我們可在每個晶粒上量測某些品質特徵值, 透過這些量測值我們便可得知該片晶圓的品質好壞。而當因現實考量而無法量測晶圓上所有的晶粒的特徵值時, 該如何在晶圓上抽樣以挑選具有代表性的晶粒去做測試, 便是晶圓品管上的一個重要問題。
在本研究中我們將晶圓視為實驗區間, 而將晶圓透過極座標轉換而得到的正方形區間視為建模區間, 當實驗區間上的反應曲面具有圓效應時, 在建模區間上只需配適簡單的模型, 對真實數據即具有一定的描述能力。因為實驗區間與建模區間在實驗中所扮演的角色並不相同, 故我們對一個設計在這兩個區間上將會各自要求不同的性質, 比如在圓這個實驗區間上, 實驗點應有均勻散佈的性質, 而在建模區間上, 這些實驗點應使配適的模型有正交的性質。此外對同一個圓上的設計, 當極軸改變時在建模區間上會產生許多不同的設計, 因為未來做分析時, 該選取哪一個極軸才能得到最好的配適模型, 在實驗設計的階段並無法預測, 故我們要求在建模區間上這些不同的設計都要有好的表現。對於正規設計, 我們將提出兩個準則來挑選最佳設計, 並將其列表。而對於拉丁超方陣設計, 我們將會放寬其限制, 進而找出正交性更好的設計。

目錄
緒論. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
動機實例與分析策略. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
1 圓區間與極座標區間. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 極軸的選取. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 分析策略. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 與傳統設計不同之處. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
實驗區間與建模區間的均勻性13
1 圓與(r, θ) 區間上的均勻性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 均勻性測度. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
正規設計. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
1 正規設計的定義與性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 準則一. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 準則二. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 M方陣. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
正交設計. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37
1 拉丁超方陣設計. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2 正交設計. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1 實驗次數等於水準數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 實驗次數為兩倍水準數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
結論53
A 附錄55
A.1 (n, p, q)-設計與(n, n - p, n - 1 - q)-設計對稱於A = (n-1)/2 . . . . . 55
A.2 (n, p, q)-設計與(n, p’ , q’)-設計對稱於A = B . . . .. . . . . . . . . 56
A.3 標準線斜率為正, 標準線與a、b 關係之推導. . . . . . . . . . . . . . 57
A.4 水準數奇數時, 滿足線性效應彼此間且其與二次效應正交性之推導. . 58
A.5 水準數偶數時, 滿足線性效應彼此間且其與二次效應正交性之推導. . 64
參考文獻70

表目錄
1 (5, 3)-方陣. . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 (5, 1)-方陣. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 準則一下的最佳設計列表. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 準則二下的最佳設計列表. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5 n=17 之M 方陣. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1 極軸改變前後(r, θ) 線性效應. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
圖目錄
1 晶圓圖. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 2
1 (a) 實驗區間(b)(R, θ) 區間(c)(r, θ) 區間. . . . . . . . . . . . . 3
2 在圓上之反應曲面圖. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 在(R, θ) 區間上之反應曲面圖. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4 (r, θ) 區間上之反應曲面圖. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5 未改變極軸之圓區間設計與(r, θ) 設計. . . . . . .  . . . . . . . . 7
6 極軸改變後之圓區間設計與(r, θ) 設計. . . . . . .  . . . . . . . . 7
7 不同極軸選取下的(r, θ) 設計. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
8 不同極軸所在位置與其對應之二階配適模型的判定係數. . . . . . . . 9
9 極軸選取後配適較差的(r, θ) 區間上之反應曲面圖. . . . . . . . . . 9
10 極軸選取後配適較好的(r, θ) 區間上之反應曲面圖. . . . . . . . . . 10
1 在建模區間中4 種不同的設計. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 實驗點在實驗區間與建模區間上之分佈. . . . . . . . . . . . . . . . 15
1 A + 3B = q (mod 5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 (5,1,4)-設計與(5,3,4)-設計. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 (5, 1, q)-設計及(5, 3, q)-設計的CL2 值. . . . . . . . . . . . . . . 23
4 (11,4,2)-設計與(11,7,8)-設計. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5 (11,4,2)-設計與(11,3,6)-設計. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6 n 為13 時, 4種不同的(n, p, q)-設計. . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7 (17, p, q)-設計, p = 2, 3, 4, 7 的CL2 值. . . .. . . . . . . . . . . 28
8 (13,5,10)-設計之標準線. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
9 四種不同的(n, p, q)-設計, n=13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
10 (13, p, q)-設計, p = 1, 2, 3, 5, 的CL2 值. . . . .  . . . . . . . . 33
1 θ 線性效應隨不同的極軸選取之變化((a) 極軸未改變前(b) 極軸改變
後) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2 正交設計之逐步佈點過程(n = 14, s = 7) . . . . . . . . . . . . . . . 51
3 正交設計((a)s=6,(b)s=7,(c)s=9,(d)s=10) . . . . . . . . . . . . . . 52

                                

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