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研究生： 許之昊
Xu, Zhi-Hao
論文名稱： 有限域上的一般線性群的特征標
The characters of general linear groups over a finite field
指導教授： 潘戍衍
Pan, Shu-Yen
口試委員: 魏福村
Wei, Fu-Tsun
康明軒
Kang, Ming-Hsuan
學位類別： 碩士
Master
系所名稱： 理學院 - 數學系
Department of Mathematics
論文出版年： 2024
畢業學年度： 112
語文別： 英文
論文頁數： 45
中文關鍵詞： 一般線性群 、特征標 、群表示
外文關鍵詞： general linear group, character, representation
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    • Steinberg 通過考慮一些置換表示找出了GL_2(q)和GL_3(q)的所有不可約表示。在本文中，我們將介紹另一種由Green 和 Lusztig提出的方法以計算有限域上一般線性群的特征標。我們將以此方法計算出GL_2(q),GL_3(q) 的特征標。這種方法引用了對稱群表示的特征標和Green 函數。

    Steinberg derived the irreducible representations of GL_2(q) and GL_3(q) by considering permutation representations. In this paper, we will present an alternative method from Green and Lusztig for calculating the characters of general linear groups over finite fields. Specifically, we will calculate the characters of GL_2(q) and GL_3(q) using this approach, which involves referencing the characters of symmetric groups and Green functions.

    1 Preliminary 1 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Character theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Induced representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Steinberg’s approach to find characters of GL2(q),GL3(q) 9 2.1 Notations of something parameterized by partitions . . . . . . . . . 9 2.2 Conjugacy class of GL_n(q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 GL_2(q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4 GL_3(q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 Another approach to find characters of GL_n(q) 16 3.1 Character on torus defiend by a semisimple element . . . . . . . . . 16 3.2 Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.3 GL_2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3.1 Conjugacy classes of GL_2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3.2 Calculate E (GL_2, s′), where (s′ = A′_1,A′_3,B′_1 ) . . . . . . . . . 20 3.3.3 Calculate R_{T,s′} on each class . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.3.4 Character table of GL_2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.4 GL_3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.4.1 Conjugacy classes of GL_3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.4.2 Calculate E (GL_3, s′), where (s′ = A_1,A_4,A_6,B_1,C_1) . . . . . 27 3.4.3 Calculate R_{T,s′} on each class . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4.4 Character table of GL_3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Bibliography 45

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