摘要
本研究旨在以課室討論為基礎，探討一位國小教師發展三年級數學課室推理規範之歷程、遭遇的困境以及採用的策略，以增進學生的推理思維發展與自主學習。研究對象為新竹市某國小三年天使班23位學生，研究時間每週三節為期一個學期，以課室的錄影、學生的解題記錄、數學日記、教師的觀察與省思札記做資料的蒐集與分析。行動研究的起點在於發現班級學生在數學課室中有三個問題：僅少數學生能根據以前學過的數學概念來說明解題、僅少數的學生會察覺題目的答案不只一種可能與無法提出明確的證據來反駁他人或舉反例來推翻他人的想法，因此在班級發展三個數學推理規範：(1)運用已知的數學知識作為解題和證明的依據；(2)有系統的列舉所有可能的答案；(3)反駁錯誤的命題。
研究結果顯示，三年級教師在發展數學推理規範的歷程中可能會遭遇的困境與策略的使用：(1)學生以前學過的數學知識概念不夠穩固會影響推理規範之發展；(2)三年級的學生不易有系統的列舉出所有可能的答案；(3)學生舉反例反駁比根據以前的數學知識反駁較為不易；(4)教師關鍵性提問為發展推理規範之通用策略；(5)利用數學日記可補課室討論時間的不足與改進學生不穩固的數學概念；(6)解題前先思考佈題中可能運用到哪些以前學過的數學知識有助於學生運用已知的數學知識解題與證明之推理規範的發展；(7)學生習慣根據以前學過的數學知識來說明解題也有助於發展反駁之推理規範；(8)設計較符合學生生活情境的佈題對於發展推理規範有助益；(9)較難發展的推理規範可從小組討論著手。
從以上研究結果可知，三年級教師在數學課室發展數學推理規範時，教師課前的備課與教學的專業影響學生推理的發展，學生在數學課室中的推理發展促進教師的反思、修正與精進個人的教學，兩者互相影響，互有反身性。

關鍵字：國小三年級、數學推理規範、課室討論

Abstract
　　The aim of this article attempts to explore how a teacher develops reasoning norms in a third-grade mathematical classroom, the predicaments encountered and the strategies used, to promote the development of students’ reasoning thinking and auto-learning. A third grade class of 23 students in Hsinchu city participated in the study for three classes per week in a semester. The researcher collected and analyzed data with classroom videos, students’ problem-solving records, mathematical diary and teacher’s notes of reflection. In the beginning, the researcher found three problems in the mathematical class that only a few students illustrated problem solving according to mathematical concepts learned in the past, only a few students perceived the answers of objects are more than one and they couldn’t provide clear evidences to refute others or give counterexamples to overthrow the ideas of others. Therefore, the study planned to develop three math-reasoning norms (1) using the learned mathematical knowledge as a base to solve and explain problems；(2) enumerating of all possible answers systematically；(3) refuting false proposition.
Results of this study showed it may produce the following difficulties and the usage of strategies when a teacher develops math-reasoning norms (1) if students learned the concepts of mathematical knowledge were not firmly established, it would hinder the development of math-reasoning norms；(2) it’s not easy for third-year students to enumerating of all possible answers systematically；(3) it’s more difficult for students to refute by counter-examples than by learned mathematical knowledge；(4) guiding critical questioning is a common strategy for teacher to develop reasoning norms；(5) using mathematical diary could remedy insufficient of discussing time in class and improve students’ mathematical concepts；(6) to conjecture which learned mathematical knowledge may be used before solve and explain problems is helpful for students to develop reasoning norm of using the learned mathematical knowledge as a base to solve and explain problems；(7) if students got used to solve problems according to learned mathematical knowledge, it was helpful to develop reasoning norm of refutation；(8) designing life situations problem is useful to develop reasoning norm；(9) if the reasoning norm was more difficult developed, teacher could orchestrates classroom discussions from team discussion.
To conclude, when a third grade teacher develop mathematical reasoning norms in mathematics classrooms, teacher’s preparation before class and teaching profession influence students’ development of reasoning. Students’ development of reasoning in mathematical classroom promoted teachers to reflect, revise and promote their teaching methods. Therefore, teachers’ teaching and students’ reasoning influence each other and are reflexive.

Keyword：the third grade、mathematical reasoning norms、classroom discussion

參考文獻
一、中文部分
王淑敏（2013）。一位國小六年級教師發展數學推理規範歷程之行動研究（未出版之 碩士論文）。國立新竹教育大學，新竹市。
王馨鎂（2011）。國小四年級學生在數學推理規範下學習分數之歷程（未出版之碩士 論文）。國立新竹教育大學，新竹市。
江淑卿（2007）。從心智模式論點探討兒童邏輯推理能力之發展。臺北市立教育大學 學報，38(1)，1-32。
吳俊德、楊凱琳（2009）。探討不同推理能力的國一個案形成與檢驗猜想的認知特徵。教育與心理研究，32(3)，115-143。
吳培源（2006）。教學視導-觀念、知能與實務。台北：心理。
林杏珠（2011）。探究國小五年級課室數學推理歷程的發展（未出版之碩士論文）。
國立新竹教育大學，新竹市。
林崇安（2006）。莊子濠梁魚樂之辯--一個認識論的問題。科學哲學專文，E2。
林碧珍（2010）。台灣數學教育研究的回顧與反思。教育研究月刊，190，129-143。
林碧珍（2011）。數學教學案例：整數四則運算篇。台灣：師大書苑。
林碧珍（2015）。國小三年級課室以數學臆測活動引發學生論證初探。科學教育學刊。23(1)，81-108。
馬秀蘭 （2007）。學生思考過程之探究--以實務推理為例。科學教育學刊，15(4)， 387-416。
張春興（1996）。教育心理學。台北市：東華。
張淑華（2014）。四年級教師發展數學推理規範歷程知行動研究（未出版之碩士論文）。國立新竹教育大學，新竹市。
張景媛、陳萩卿（2003）。促進推理思考的認知策略。課程與教學季刊，6 (2)，79-108。
張順興（2012）。探討發展數學推理規範對國小四年級推理歷程之影響（未出版之碩 士論文）。國立新竹教育大學，新竹市。
張德銳（2014）。教學行動研究--實務手冊與理論介紹。台北：高等教育。
教育部（2010）。國民中小學九年一貫課程暫行綱要--數學學習領域。教育部。
許馨文（2013）。教師發展國小高年級學童數學推理之行動研究（未出版之碩士論文）。國立新竹教育大學，新竹市。
郭實渝（2008）。教學建構主義的哲學基礎。台東大學教育學報，19(2)，119-142。
陳佳鞠（2015）。一位三年級偏鄉教師發展數學推理規範之行動研究（未出版之碩士 論文）。國立新竹教育大學，新竹市。
陳 波（2004）。邏輯學。台北市：五南。
陳家鵬（2008）。數學課室討論文化下國小五年級數學推理規範之發展：以分數為例 之研究（未出版之碩士論文）。國立新竹教育大學，新竹市。
陳淑娟、劉祥通（2002）。國小班級數學討論活動可行方案之探討。科學教育學刊，10(1)，87-107。
陳惠邦（1998）。教育行動研究。台北：師大書苑。
陳嘉皇（2007）。國小三年級學童代數推理教學與解題表現研究。高雄師大學報，23， 125-150。
陳燕珍(譯)（2001）。重新建構孩子的數學能力第三級國小三年級(原作者：Kammi, C. & Livingston, S. J.)。台北縣：光幼文化。
彭淑芬（2013）。國小六年級教師發展學生數學推理規範歷程之行動研究（未出版之 碩士論文）。國立新竹教育大學，新竹市。
黃光雄、蔡清田（2003）。課程設計：理論與實際。五南。
黃永和、李佳潔（2013）。營造討論的學習環境：一個班級的教學實踐經驗。新竹教育大學教育學報，30(2)，29-64。
黃幸美（2001）。兒童解決數學及自然科學問題的問答討論與類比推理思考之研究。教育心理學報， 32(2)，121-142。
黃幸美（2003）。討論與真實情境對兒童解決問題的影響。教育研究集刊，49(1)。
黃幸美（2004）。兒童的數學問題解決與思考。台北：心理。
黃幸美、林美珍、鄭晉昌(1997)。國小學童好與差解題者的類比推理解題表現之探討。教育與心理研究，20(1)，111-139
黃雅惠（2007）。數學推理規範對四年級學生乘除法概念學習關係之研究（未出版之 碩士論文）。國立新竹教育大學，新竹市。
楊云禎（2011）。教師發展三年級學生數學推理規範歷程之行動研究（未出版之碩士 論文）。國立新竹教育大學，新竹市。
楊孟麗、謝水南譯（譯）（2013）。教育研究法：研究設計實務（第二版）（原作者：J.R. Fraenkel, N.E. Wallen, Helen H. Hyun）。台灣：心理。
楊嘉菱（2013）。一位國小三年級教師發展數學課室推理規範之行動研究（未出版之碩士論文）。國立新竹教育大學，新竹市。
葉美珍（譯）（2015）。題問與討論的教育奇蹟（原作者：全聲洙）。新北市：木馬文化。
劉見成、張燕梅（2011）。謬誤、意義與推理--邏輯初階。台北縣：新文京開發。
劉惠貞（2014）。教師發展國小四年級學生數學推理規範之行動研究（未出版之碩士 論文）。國立新竹教育大學，新竹市。
歐惠如（2006）。數學推理規範發展下對三年級學生數學推理歷程之探究（未出版之 碩士論文）。國立新竹教育大學，新竹市。
蔡文煥（2000）。兒童文化活動中的數學與其參與程度。新竹師院學報，13，311-358。
蔡文煥、林碧珍（2002）。兒童每日活動中之數學文化化之發展研究（3/3）。行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告。編號：NSC 91-2521-S-134-001。新竹市：國立 新竹師範學院。
蔡文煥（2004）。協同教師發展有利數學意義產生之課室討論文化之研究。海峽兩岸教育行動研究研討會議。北京師範大學教育學院。
蔡文煥（2010）。協同教師發展期學童之數學推理能力。行政院國家科學委員會專題研究成果報告。編號：NSC 97-2511-S-134-001。新竹市：國立新竹師範學院。
蔡文煥（2015）。以發展課室學習規範圍基礎發展教學規範以擴展教師專業發展。鄭章 華（主持人），東西方數學課堂相遇。東西方數學課堂相遇國際學術交流會議，新竹教育大學。
蔡明珠、王美娟（2011）。 探討影響國小學童演繹推理能力之相關因素-以臺北縣市六年級學童為例。國教新知，58(3)，33-43。
蔡清田（2011）。行動研究的理論與實踐。T&D 飛訊，118，1-20。
謝佳鈺（2009）。國小學童邏輯推理能力養成之研究（未出版之碩士論文）。國立臺北教育大學，臺北。
簡淑真（1998）。建情論及其在幼兒教育上的應用。課程與教學季刊，1( 3)，61-80。
蘇泱因（2011）。探討六年級課室數學推理之發展（未出版之碩士論文）。國立新竹教育大學，新竹市。

二、英文部分
Ayalon, M., & Even, R. (2008). Deductive reasoning: In the eye of the beholder. Educational
Studies in Mathematics, 69(3), 235-247.
Ball, D. L., & Bass, H. (2003). Making mathematics reasonable in school. A research
companion to Principles and Standards for School Mathematics, 27-44.
Brown, J. S., Collins, A., & Duguid, P. (1989). Situated cognition and the culture of
learning. Educational researcher, 18(1), 32-42.
Cobb, P., & Yackel, E. (1996). Constructivist, emergent, and sociocultural perspectives in the
context of developmental research. Educational psychologist, 31(3-4), 175-190.
Cobb, P., Stephan, M., McClain, K., & Gravemeijer, K. (2001). Participating in classroom mathematical practice. The Journal of The Learning Sciences, 10(1&2), 113-163.
Fraivillig, J. L., Murphy, L. A., & Fuson, K. C. (1999). Advancing children's mathematical thinking in everyday mathematics classrooms. Journal for research in mathematics education, 148-170.
Lave, J., & Wenger, E. (1991). Situated learning: Legitimate peripheral participation. Cambridge university press.
Lemke, J. L. (1997). Cognition, context, and learning: A social semiotic perspective. Situated cognition: Social, semiotic, and psychological perspectives, 37-56.
National Council of Teachers of Mathematics (Ed.). (2000). Principles and standards for school mathematics (Vol. 1). National Council of Teachers of.
Stylianides, G. J., & Stylianides, A. J. (2008). Proof in school mathematics: Insights from psychological research into students' ability for deductive reasoning. Mathematical Thinking and Learning, 10(2), 103-133.
Stylianides, A. J. (2007). Proof and proving in school mathematics. Journal for Research in Mathematics Education, 289-321.
Stylianides, A. J., & Ball, D. L. (2008). Understanding and describing mathematical knowledge for teaching: Knowledge about proof for engaging students in the activity of proving. Journal of Mathematics Teacher Education,11(4), 307-332.
Yackel, E., Cobb, P., & Wood, T. (1991). Small-group interactions as a source of learning opportunities in second-grade mathematics. Journal for research in mathematics education, 390-408.
Yackel, E., & Cobb, P. (1996). Sociomathematical norms, argumentation, and autonomy in mathematics. Journal for research in mathematics education, 458-477.