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研究生： 吳尚航
Wu, Shang-Hang
論文名稱： 循環碼的二位元鏡像之對稱群
The Automorphism Group of a Binary Image of a Cyclic Code
指導教授： 呂忠津
LU, CHUNG-CHIN
口試委員: 林茂昭
Lin, Mao-Chao
蘇賜麟
Su, Szu-Lin
學位類別： 碩士
Master
系所名稱： 電機資訊學院 - 電機工程學系
Department of Electrical Engineering
論文出版年： 2019
畢業學年度： 107
語文別： 英文
論文頁數： 30
中文關鍵詞： 循環碼 、二位元鏡像 、對稱群
外文關鍵詞： Automorphism Group, Binary Image, Cyclic Code
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    • 在現代社會中，無線通訊在社會中的重要性是越來越大。而無線通訊的一個大
    問題就是在傳輸途中所產生的各種雜訊，因此才需要錯誤更正碼。
    對稱群是指在所有在該群內的元素滿足將一個空間內的元素映成至同一空
    間保持一對一關係。而一個碼的對稱群則是該群內的元素滿足將該碼內的所有
    碼字映成至同一碼內並保持一對一關係。舉例來說，循環碼的對稱群就包括了
    所有的循環移位。
    因為現今的傳輸通到多為二位元通道的關係，二位元以上的碼字在傳輸時
    可被視為一個二位元的矩陣並稱之為碼字的二位元鏡像。在此情況下，錯誤的
    產生有可能會落在不同的字元，進而造成無法更正成原本的碼字。因此需要在
    二位元矩陣時，使用該碼的二位元鏡像之對稱群來重新組合該矩陣，使之在仍
    為同一碼內的碼字之二位元鏡像的前提下，盡量讓越多的錯誤平移到同一字元
    的底下。這會讓隨之還原的碼字的錯誤率降低，讓我們可以使用錯誤更正碼來
    解碼。
    本篇論文中，講述了二位元鏡像的構成與生成矩陣，以及如何找到不同循
    環碼的二位元鏡像之對稱群。

    We consider cyclic codes over the field F_{2^m} of length n=2^m-1. In this thesis, we give the constructions of binary images of cyclic codes. We find automorphism groups of binary images of irreducible cyclic codes and some special cyclic codes. Several cases for finding automorphism groups of binary images of direct sums of cyclic codes are given.

    1 Introduction 3 2 Binary Images 5 2.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Construction of Binary Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3 Generators of a Binary Image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3.1 Preliminary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3.2 Generators of a Binary Image of a Subfield Subcode . . . . . 8 2.3.3 Generators of a Binary Image of a Subcode . . . . . . . . . . 9 2.3.4 Generators of a Binary Image of a Cyclic Code . . . . . . . . 10 3 Automorphism Groups of Binary Images of special cyclic codes 11 3.1 Automorphism Groups of a Single Nonzero Cyclic Code . . . . . . . 12 3.1.1 Primitive Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.1.2 Non-primitive Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.2 Automorphism Groups of Binary Images of a Single Nonzero Cyclic Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2.1 Primitive Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2.2 Non-primitive Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.3 The set of Nonzeros with Exactly the whole Conjugate Class over F2 . 16 3.4 Automorphism Groups of dual codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 Automorphism Groups of Direct Sum of Cyclic Codes 18 4.1 One as a Nonzero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.2 Automorphism Groups of direct Sum of Cyclic codes . . . . . . . . . 19 4.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5 Conclusion and Discussion 23 A 24 B 26 C 28 D 29 6 Bibliography 30

    [1] J. Lacan and E. Delpeyroux, “The q-ary image of a q^m-ary cyclic codes: Permutation group and soft-decision decoding,” IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 48, no. 7, pp. 2069-2078, Jul. 2002.
    [2] F. Lim, M. P. Fossorier, and A. Kavciˇ c, “Code automorphism and permutation´ decoding of certain Reed-Solomon binary images,” IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 56, no. 10, pp. 5253-5273, Oct. 2010.
    [3] F. Lim, M. P. Fossorier, and A. Kavciˇ c, “Notes on the automorphism groups of´ Reed-Solomon binary images,” in Proc. IEEE Int. Symp. Inf. Theory, Toronto, ON, Canada, pp. 1813-1817, Jul. 2008.
    [4] F. J. MacWillians and N. J. A. Sloane, The Theory of Error-Correcting Codes, North Holland Publishing Company, Amsterdam, Holland, 1977.
    [5] G. E. Seguin, “The q-ary image of a q^m-ary cyclic codes,” IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 41, no. 2, pp. 387-399, Mar. 1995.
    [6] C. C. Lu, “The Automorphism Groups of Binary Primitive BCH Codes,” PhD’s dissertation, University of Southern California, U.S.A., 1987.
    [7] C. C. Lu, “The Automorphism Groups of Reed-Solomon Codes,” to be submitted for publication.

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